نقطه تکین

در ریاضیات، یک نقطه تکین به طور کلی نقطه‌ای است که یک عنصر ریاضی در آن تعریف نشده باشد، یا یک نقطه از یک مجموعه استثنایی که تابع به‌نوعی (مانند مشتق‌پذیری در آن «رفتار خوبی» ندارد. برای مثال تابع

$f(x)=frac{1}{x}$

روی خط حقیقی یک نقطه تکین در x = 0 دارد، جایی که به نظر می‌رسد به سمت ±∞ «منفجر می‌شود» و تعریف نشده است. تابع g(x) = |x| نیز یک تکین در x = 0 دارد، زیرا آنجا مشتق پذیر نیست. به طور مشابه نمدار تعریف شده با y² = x نیز یک تکین در x = 0 دارد، این دفعه به خاطر اینکه یک «گوشه» (تانژانت عمودی) در این نقطه دارد. مجموعه جبری تعریف شده با y² = x² در سیستم مختصات (x, y) یک نقطه تکین در (0, 0) دارد زیرا در آنجا تانژانت ندارد.

در آنالیز مختلط، جهار نوع نقطهٔ تکین وجود دارد که در زیر تشریح شده است. فرض کنید U یک زیر مجموعه باز از اعداد مختلط C، a یک عضو از U، و f یک تابع هولومورفیک تعریف شده بر U {a}.

نقطه a یک نقطه تکین برداشتنی از f‌است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر تمام U وجود داشته باشد که f(z) = g(z) برای هر z در U − {a}.
نقطه a یک قطب از f است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر U و عدد طبیعی n وجود داشته باشد که f(z) = g(z) / (z − a)ⁿ برای هر z در U − {a}.
نقطه a یک نقطه تکین اساسی از f است اگر نه تکین برداشتنی باشد و نه قطب. نقطه a یک نقطه تکین اساسی است اگر و تنها اگر سری لوران f دز نقطهٔ a تعداد بینهایت جملهٔ با درجهٔ منفی داشته باشد.