تابع بسل

توابع بسل، (به انگلیسی: Bessel functions) اولین بار توسط دانیل برنولی تعریف شدند و سپس فردریش بسل فرم عمومی آن را بررسی نمود. توابع بسل جواب‌های معادله دیفرانسیل زیر می‌باشند ^[۱] :

$x^2 frac{d^2 y}{dx^2} + x frac{dy}{dx} + (x^2 - alpha^2)y = 0$

معادله بسل معادله‌ای است که از معادلات قابل حل با سری‌هاست، و دارای نقطه منفرد منظم است. نقطه $x=0$ تنها نقطه غیرعادی معادله فوق است. جواب‌های معادله به توابع بسل معروفند. در معادلهٔ بالا $alpha$ یک عدد حقیقی یا مختلط دلخواه می‌باشد که مرتبه تابع بسل را مشخص می‌کند.

بطورکلی توابع بسل از حل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای لاپلاس ( Laplace's equation ) و هلمهلتز (Helmholtz equation ) در مختصات استوانه‌ای و مختصات کروی بدست می‌آیند. از این رو این توابع در تیوری انتشار امواج و تیوری پتانسیل اهمیت بسزایی دارند. البته این توابع در حل معادلات ارتعاشات، معادلات رسانایی گرما و امواج الکترومغناطیس در مختصات استوانه‌ای ظاهر می‌شوند.

تعریف

توابع بسل نوع اول آن دسته توابعی هستند که مربوط به $alpha$ بعنوان عدد طبیعی منفی می‌باشند که در صفر متناهی می‌باشد:

$J_alpha(x) = sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m! Gamma(m+alpha+1)} {left({frac{x}{2}}right)}^{2m+alpha}$