دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

قضیه وایرشتراس-کاسوراتی

قضیه وایرشتراس-کاسوراتی در آنالیز مختلط رفتار قابل توجه توابع هولومورفیک نزدیک نقاط تکین اساسی را توصیف می‌کند. این قضیه به احترام کارل تئودور ویلهلم وایرشتراس و فیلیس کاسوراتی بدین نام خوانده می‌شود.

با یک زیر مجموعه باز U در صفحه مختلط شامل عدد z₀و یک تابع هولومورفیک f تعریف شده روی U − {z₀} شروع می کنیم. عدد مختلط z₀ یک نقطه تکین اساسی نامیده می‌شود اگر هیچ عدد n طبیعی وجود نداشته باشد که حد

موجود باشد.

برای مثال، تابع f(z) = exp(1/z) یک نقطه تکین اساسی در z₀ = 0 دارد، اما تابع g(z) = 1/z³ چنین نقطه‌ای ندارد. (این تابع یک قطب در 0 دارد).

قضیهٔ وایرشتراس کاسوراتی بیان می‌کند که

اگر f یک تکین اساسی در z₀ داشته باشد، و V هر همسایگی z₀ در U باشد، آنگاه f(V − {z₀}) در C چگال است.

یا اینگونه : اگر ε > 0 و w iv عدد مختلطی باشد آنگاه یک عدد مختلط z در U وجود دارد که |z - z₀| < ε و |f(z) - w| < ε.

قضیه بسیار قوی‌تر می‌شود با با قضیه پیکارد، که بیان می‌کند که f هر مقدار مختلط باستثنا یکی را بی نهایت بار اختیار می‌کند.