دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

مجموعه هم باز و هم بسته

مجموعه باز: مجموعه ای که همه نقاطش درونی باشد.

مجموعه بسته: مجموعه ای که همه نقاط حدی اش را دارا باشد.

مثال مجموعه نه باز و نه بسته:

مثال برای مجموعه هم باز و هم بسته:

اگر بخواهیم یک مجموعه هم باز و هم بسته غیر بدیهی بسازیم به طور شهودی استنباط می شود که اگر این مجموعه شامل x باشد باید تمام نقاطی مثل y که با x در یک ناحیه همبندی قرار دارد را نیز دارا باشد. زیرا در غیر اینصورت دارای نقطه مرزی خواهد و بود و اگر مجموعه ای یک نقطه مرزی داشته باشد دیگر نمی تواند باز باشد (بنا به تعریف نقطه درونی یک نقطه مرزی هرگز درونی نیست). شما چه روش اثباتی برای این مدعا ارائه می کنید؟

مثال:

 X=(0,1] U [2,3] U (4,5)

مجموعه (0,1] بسته است زیرا:

و همینطور باز:

(0,1) ≤ (0, 1.5)
 

ولی هر تعداد عضو که از این مجموعه کم کنیم (متناهی، نامتناهی شمارا، ناشمارا) مجموعه شامل نقطه مرزی خواهد بود و دیگر باز نخواهد بود. از طرفی اگر هر تعداد عضو از یک ناحیه همبندی X انتخاب کنیم (متناهی، نامتناهی شمارا یا ناشمارا) باید کل آن ناحیه را انتخاب کنیم تا بتوانیم یک چنین مجموعه ای بسازیم.