نظریه گروه ها قسمت 2

ابتدا یادآوری می‌کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده‌است. گروه نیز از جمله ساختمان‌های جبری است.

گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:
اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:

برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)
برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c ، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)
برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)
برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس)

گروه‌ها را می‌توان بسته به ویژگی‌های آن دسته‌بندی کرد:

گروه دوری

گروه G را دوری می‌خوانند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به Z، داشته باشیم: a = xⁿ
مفهوم گروه دوری به مفهوم وابسته‌ای منجر می‌شود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {a^n>|k∈Z}۰ را در نظر می‌گیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه می‌توان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a می‌نامند و با <a> نمایش می‌دهند.
در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a می‌نامند و با σ(a)۰ نمایش می‌دهند که در واقع |<a>| می‌باشد. در صورتی که |<a>| نامتناهی باشد می‌گوییم که a مرتبه نامتناهی دارد.

در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروه‌های آنها را بیان می‌کنیم.

فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و a^k = e آنگاه n|k.
درصورتی که G یک گروه دوری باشد.
- اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.
- اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Z_n) یکریخت است.
هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.

گروه جایگشتی
گروه متناهی

گروه متناهی گروهی است که مرتبه آن(به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) عددی نامتناهی نباشد.

گروه آبلی

گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیت‌های بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژی، نیلس هنریک آبلی اختیار شده‌است. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο a

گروه آبلی متناهی