دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

نظریه گروه ها قسمت 3

تعاریف و ویژگی‌های مقدماتی 

• در صورتی که برای عمل گروه نشانه‌ای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.

توان در گروه‌های ضربی 

برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

از طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a^-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z⁺ تعریف می‌کنیم:

همچنین برای

 می‌باشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده می‌شود.)


مرتبه گروه 

• وقتی G گروه نامتناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G می‌نامند و با |G| نمایش می‌دهند.

مثلا برای

 و برای هر عدد اول p، داریم :

---

 

زیرگروه 

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می‌نویسیم H⊆G.
توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروه‌است، سایر خواص یک گروه را داراست.


قضایای مقدماتی 

• برای هر گروه G 
  
  • عنصر همانی G یکتاست.
  • عکس هر عنصر G یکتاست.
  • اگر ac = ab ، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)
  • اگر ca = ba ، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)
  • برای هر ab)² = b²a² ، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.

• اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:

1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
2. H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a^-1∈H

• شرط تناهی این وضعیت را بهتر می‌کند:

اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.

• فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی . را بر G×H به نحو زیر تعریف می‌کنیم:

(g_۱,h_۱).(g_۲,h_۲) = ( g_۱οg_۲,h_۱*h_۲)
در این صورت، (.,G×H) یک گروه‌است و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده می‌شود.


هم ریختی‌ها و یک ریختی ها 

در صورتی که (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند و f:G→H، در صورتی که برای هر a,b ∈ G داشته باشیم: f(aοb) = f(a)*f(b)۰ آنگاه f را هم ریختی گروهی می‌نامند. اگر بدانیم که ساختارهای داده شده گروه هستند f را فقط همریختی می‌خوانیم.

• فرض کنید (G,ο) و (*,H) گروههایی به ترتیب با عناصر همانی e_G و e_H باشند، اگر f:G→H در این صورت: 
  
  • f(e_G) = e_H
  • برای هر a ∈G ، f(a^-۱) = [f(a)]^-۱
  • برای هر a ∈G و هر n ∈Z ، f(aⁿ) = [f(a)]ⁿ
  • برای هر زیر گروه S از f(S)، G زیر گروه Hاست.

 

---

اگر f: (G,ο) &→ (H,*)۰ یک همریختی باشد، f را یک یکریختی می‌نامند اگر و تنها اگر f یک به یک و پوشا باشد. در این حالت می‌گویند G و H گروه‌های یکریختن اند.


هم مجموعه ها 

هم مجموعه ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها بر خورد می‌کنیم. در صورتی که H زیر گروه G باشد، آنگاه برای هر a ∈ G مجموعه aH={ah|h ∈ H}۰ را هم مجموعه چپ H در G می‌نامند. مجموعه Ha={ha|h ∈ H}۰ هم مچموعه راست H در G است. (به همین ترتیب در صورتی که عمل گروه دارای خواص جمعی باشد مجموعه‌های H+a={h+a|h ∈ H}۰ و a+H={a+h|h ∈ H}۰ هم مجموعه‌های چپ و راست خواهند بود.)

• اگر H زیر گروهی از گروه متناهی G باشد، آنگاه برای هر a,b ∈ H داریم: 
  
  • 
    
    • |aH| = |H|
    • aH = bH یا aH ∩ bH = Φ