مقدمه
مفهوم امید ریاضی ، در اصل در ارتباط با بازی‌های شانسی بوجود آمده است و در ساده‌ترین صورتش حاصل‌ضرب مبلغی است که بازیکن امکان یبرد آن را در احتمال آنکه برنده شود. در واقع امید ریاضی یک میانگین است. یا همان مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی می‌باشد.
تعریف
اگر X یک متغیر تصادفی گسسته و مقدار توزیع احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با
Latex Error:
{E(X)= \sum_{x} x.f(x)}
بهمین ترتیب اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته و مقدار چگالی احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با:
Latex Error:
{E(X)=\int_{-\infty}
{\infty} x.f(x)\, dx}
در بسیاری از مسائل آمار ، نه تنها مقدار مورد انتشار یک متغیر تصادفی X ، بلکه مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی وابسته به X نیز مورد توجه‌اند. مثلا ، ممکن است متغیر تصادفی Y مورد توجه ما باشد که مقادیرش با مقادیر X از طریق معادله
Latex Error:
{y=g(x)}
در ارتباط‌اند. برای مثال ممکن است باشد. بنابراین حرف X قرار گرفته داخل پرانتز در تعریف
Latex Error:
{E(X)}
ممکن است برحسب نیاز ما متفاوت باشد. تعیین امیدهای ریاضی را اغلب می‌توان با استفاده از قضایای ساده کرد. این قضایا ما را قادر می‌سازد که مقادیر امید را از روی امیدهای دیگری که معلوم اند و یا براحتی قابل محاسبه‌اند حساب کرد.
امید ریاضی و گشتاورها
اصطلاح "گشتاورها" مربوط به علم فیزیک است- اگر کمیت‌های در حالت گسسته جرم‌هایی نقطه‌ای باشند که بر نقاط محور x واقع در فواصل x از مبدا ، بطور قائم عمل کنند
Latex Error:
{\mu'_1}
مختص x مرکز ثقل است یعنی اولین گشتاور تقسیم بر
Latex Error:
{\sum_{x} f(x)=1}
و
Latex Error:
{\mu'_2}
گشتاور اینرسی است. این مطلب همچنین توضیح می‌دهد که چرا گشتاورهای
Latex Error:
{\mu'_r}
، گشتاورهای حول مبدا نام دارند- در قیاس با علم فیزیک ، طول بازوی دوم در این حالت فاصله تا مبدا است. این قیاس در حالت پیوسته نیز بکار می‌آید که در آن
Latex Error:
{\mu'_1 , \mu'_2}
باید مختص xمرکز ثقل و گشتاور اینرسی یک میله با چگالی متغیر باشد.
از جمله کاربردهای توابع مولد گشتاورها که توسط امید ریاضی محاسبه می‌شوند یافتن rامین گشتاور حول مبدا است. در واقع rامین مشتق تابع مولد گشتاور روی t زمانی که t مساوی صفر باشد
Latex Error:
{\mu'_r}
را به ما می‌دهد.
