دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

سایت جامع در باب کتب و جزوات رشته های ریاضی و کامپیوتر با دانلود مستقیم.

لینک دوستان

ارشیو

فروشگاه سی شارپ

فروشگاه کدهای php

فروشگاه asp.net

مقدار ویژه و بردار ویژه

مسئله مقادیر ویژه (Eigenvalue problem) (یا مسئله مقادیر ذاتی) مربوط به ماتریس‌ها و عمل‌گرها از جمله اساسی‌ترین و ذاتی‌ترین، و به همین جهت، پرکاربردترین مباحث و ابزار در بسیاری از زمینه‌ها و میدان‌های علوم و فنون قدیم و جدید می‌باشد.

فضای برداری با بعد متناهی

مسئله اول در مورد فضاهای برداری با بعد متناهی است. ماتریس مربعی $A !$ را در نظر می‌گیریم. بردار غیر صفر $x !$ را ‌بردار ویژه $A !$ ، و اسکالر $lambda !$ را مقدار ویژه نظیر آن بردار می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر اقناع شود:

$A x = lambda x!$

در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: ‌بردار ویژه $x !$ و ‌مقدار ویژه $lambda !$ . پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

مثال:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A = begin{bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{bmatrix}$

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

$begin{bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix} = lambda begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix}$

ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار $begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix}$ را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:

$begin{pmatrix} begin{bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{bmatrix} - lambda begin{bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{bmatrix} end{pmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix} = 0$

در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب $lambda$ در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:

$begin{bmatrix} 1 - lambda & 2 2 & 1 - lambda end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix} = 0$

معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:

$a y = 0 !$

که در اینجا $a !$ عددی ثابت است. متغیر مجهول $y !$ ، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:

$a = 0 !$

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه $x = begin{bmatrix} x_1 x_2 end{bmatrix}$ لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس $A !$ می‌انجامد. پس، داریم:

$detbegin{bmatrix} 1-lambda & 22 & 1-lambda end{bmatrix} = (1 - lambda)^2 - 4 = 0.$

با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:

$lambda_1 = 3, lambda_2 = -1 !$

نکات و اشارات

تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

ضرب ماتریس $A !$ در بردار $x !$ در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته است.

فضاهای بی‌نهایت بعدی

توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از ‌مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به ‌خود می‌گیرد.

عمل‌گر مشتق‌گیری

به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:

$frac{d}{dx} f(x) = g(x) !$

در این جا عمل‌گر $frac{d}{dx} !$ بر روی تابع مشتق‌پذیر $f(x) !$ عمل نموده و تابع $g(x) !$ را به دست داده است.

‌مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:

$frac{d}{dx} f(x) = lambda f(x) !$

در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای ‌بردار ویژه، عبارت ‌تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:

$f(x) = e^{i omega x}, lambda = {iomega} !$