چند جمله ای های اویلر

چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

که تابع مولد آن

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤)

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از را به ازای هر به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل است که جملات آغازین آن عبارتند از ، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. این مقدارها می توانند با استفاده از جمع دوگانه (double sum) محاسبه شوند:

E_n(0)=2^(-n)sum_(j=1)^n[(-1)^(j+n+1)j^ksum_(k=0)^(n-j)(n+1; k)].

اعداد برنولی برای را می توان برحسب به این صورت بیان نمود:

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

است که در آن

ترکیب n و k، یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101).

چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

و

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function , Bernoulli Polynomials , Euler Polynomials , and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.