تاريخچه:
از نظر تاريخي آناليز در قرن هفدهم با ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال توسط نيوتن و لايپ نيتس پايه ريزي شد در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل هاي آناليزي از قبيل حساب تغييرات،معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي، آناليز فوريه در زمينه هاي کاربردي توسعه فراواني يافتند و از آنها به طور موفقيت آميز در زمينه هاي صنعتي استفاده شد. در قرن هجدهم تعريف مفهوم تابع به يک موضوع بحث بر انگيز در رياضيات تبديل شد. در قرن نوزدهم کوشي با معرفي مفهوم سري هاي کوشي اولين کسي بود که حساب ديفرانسيل و انتگرال را بر يک پايه منطقي استوار کرد..
در اواسط قرن نوزدهم ريمان تئوري انتگرال گيري خود را که به انتگرال ريمان معروف است ارائه داد در اواخر قرن نوزدهم وايراشتراس مفهوم حد را معرفي کرد و نتايج کار خود بر روي سريها را نيز ارائه داد در همين دوران رياضيدانان با تلاش هاي زياد توانستند انتگرال ريمان را اصلاح نمايند .
در اوايل قرن بيستم هيلبرت براي حل معادلات انتگرال فضاي هيلبرتي را تعريف و معرفي نمود.از آخرين تحولات در زمينه آناليز مي توان به پايه گذاري آناليز تابعي توسط يک دانشمند لهستاني به نام باناچ نام برد.
آناليز نام عمومي آن بخشهائي از رياضيات است که با مفاهيم حد و همگرايي مربوط اند و در آنها موضوعاتي مثل پيوستگي و انتگرالگيري و مشتقپذيري و توابع غيرجبري بررسي ميشود. اين موضوعات را معمولاً در عرصه اعداد حقيقي يا اعداد مختلط و توابع مربوط به آنها بحث ميکنند ولي ميتوان آنها را در هر فضائي از موجودات رياضي که در آن مفهوم "نزديکي" (فضاي توپولوژيک) يا "فاصله" (فضاي متريک) وجود دارد بهکار برد. آناليز رياضي از کوششهاي مربوط به دقيق کردن مباني و تعريفهاي حسابان سر برآورده است.
آناليز رياضي در واقع به نقاط استثنايي رياضيات ميپردازد . کلمه اناليز به همين معني [نقاط استثنايي] است .
مثلا در مورد انتگرال،انتگرال معمولي به انتگرال ريمان-اشتيل يس و انتگرال لبگ تعميم مييابد. آناليز رياضي زمينهاي ظريف و دقيق است.در واقع حسابان قسمت کاربردي و بدون در نظر گرفتن جزييات آناليز محسوب ميشود.
تقسيم بندي آناليز
•آناليز حقيقي: به مطالعه بر روي حد ها ،مشتقات،انتگرال ها سريهاي تواني مي پردازد.
•آناليز تابعي: به معرفي نظريه هايي از قبيل فضاهاي باناچ و نيز فضاي هيلبرت مي پردازد.
•آناليز هارمونيک: در اين شاخه از آناليز سري هاي فوريه مورد مطالعه قرار مي گيرد.
•آناليز مختلط: به بررسي توابع مختلط و خواص اين توابع از قبيل مشتق پذيري و انتگرال گيري مي پردازد.
