ترکیبیات

ترکیبیات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی دسته‌هایی (معمولا متناهی) از اشیا می‌پردازد که در شرایط معینی صدق می‌کنند. ریشه آن در روش‌های مربوط به شمردن دسته‌بندی‌های مختلف از اشیا یا افراد بوده است. امروز مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است.شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم.

ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم:

۱) اصل ضرب: اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.

حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به 2 پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.»

مثال: شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد. از شهر A به شهر B، پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد. اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از A به C رفت؟ جواب: واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر ۲۰ می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد و اگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به m + n طریق انجام داد.