فضای متری

در ریاضیات فضای متری یا فضای متریک به مجموعه‌ای گفته می‌شود که مفهومی از نوع فاصله (distance) (موسوم به متری) مابین اعضاء آن تعریف شده باشد.

انگیزه‌ها

از جملهٔ کارآترین ابزار و شیوه‌های گسترش و پیشرفت در ریاضیات (و در بسیاری از میدان‌ها و زمینه‌های دیگر حیات انسانی) تجرید، و از آن هم مهم‌تر، تعمیم است.

فضای متری یکی از مفاهیم مهم توپولوژی و آنالیز ریاضی است.

زوج مرتب $(X,d) ,$ را که در آن X مجموعه‌ای از نقاط و d یک تابع حقیقی $dcolon mathbb{X} times mathbb{X} to mathbb{R}$ می‌باشد یک فضای متریک گویند هرگاه:

۱. $d(p,q) geq 0$ (فاصله هیچ گاه منفی نمی‌تواند باشد)

۲. $d(p,q) = 0 iff p=q$ (فاصله صفر است اگر و تنها اگر هر دو شیء یکی باشند)

۳. $d(q,p) = d(p,q) ,$ (بدون بستگی داشتن به مقادیر p,q همواره دارای خاصیت تقارنی است)

۴. $d(p,q) + d(q,r) geq d(p,r)$ (نامساوی مثلث یا قضیهٔ حمار)

این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژیک نیز هست.

توپولوژی یک فضای متری

فرض کنیم $(X,d) ,$ یک فضای متری باشد. یک زیر مجموعهٔ $V subset X$ را باز گوییم هرگاه به ازای هر نقطه $x in V$ عددی مانند $varepsilon > 0$ وجود داشته باشد به گونه‌ای که گوی به مرکز x و شعاع $varepsilon$ ، یعنی : $K_{varepsilon}(X) := {y in X; | ; d(x,y) < varepsilon }$ نیز مشمول V باشد. مجموعهٔ توپولوژیک d متشکل از همهٔ مجموعه‌های باز X را توپولوژی فضای متری $(X,d) ,$ می‌نامند.

مثال

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً $mathbb{R}$ (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله $d(x,y)=|x-y| ,$ (به طوریکه $x$ و $y$ عضو $X$ ) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی $mathbb{R}^n$ با متر $d(x,y)=Vert x-y Vert$ فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی $mathbb{R}^n$ می‌نامیم.