افرازهای یک عدد صحیح

تعریف

در این مقاله از افرازهای یک عدد صحیح یا از آنچه که با گردایه ای از اشیاء یکسان هم ارز ‏است بحث می کنیم . در حالتی که اشیاء یکسان نباشند، مسئله تحت عنوان ‏‏((افرازهای یک مجموعه )) در می‌آید که در بحث این مقال نیست .

چگونگی افراز

چون تعداد افرازهای 5 برابر 7 است، می‌نویسیم p(5)=7؛ به طور کلی فرض کنیمp(n) تعداد افرازهای عدد صحیح مثبتn را ‏نشان دهد‏. در افرازی مانند 2 + 3 بالا هریک از اعداد 3 و 2 را یک جمع‌وند می‌گویند. بنابراین عدد 5 دارای افراز با یک جمع‌وند، دو افراز با دو ‏جمع‌وند، دو افراز با سه جمع‌وند، یک افراز با چهار جمع‌وند و یک افراز با پنج جمع‌وند است. در حالی که 5 دارای‏ دو افراز با سه جمع‌وند است، معادله $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5$ در مجموعه اعداد صحیح مثبت دارای شش جواب ‏است که عبارت‌اند از:

(1,3,1)(3,1,1)(1,1,3)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2)

فهرست 1

در شمردن تعداد جواب‌های یک معادله، ترتیب در نظر گرفته می‌شود؛ ولی در شمردن تعداد افرازها، ترتیب جمع‌وندها مفهومی ندارد.

نمودارهای افرازها

به افرازهای 6 توجه کنید‏:

3+3 , 5+1 , 4+2
2+2+2 , 3+2+1 , 4+1+1
3+1+1 , 2+2+1+1 , 2+1+1+1+1 , 1+1+1+1+1+1
فهرست 2 '

یازده افراز وجود دارد، بنابراین می‌نویسیم p(6)=11 . همچنین می‌بینیم که تعداد افرازهای 6‏

به 6 جمع‌وند، برابر 1؛به 5 جمع‌وند، برابر 1؛به 4 جمع‌وند، برابر 2؛به 3 جمع‌وند، برابر 3؛به 2 جمع‌وند، برابر 3؛به 1 جمع‌وند، برابر 1؛

است .

تعداد افرازهایn را که تعداد جمع‌وندهای آنها کوچکتر یا مساویk است با نماد $q_{k}(n)$ نشان خواهیم داد. به ازای n=6 ، ‏فهرست (2)ی بالا نشان می‌دهد که:

$q_{6}(6)=11 q_{5}(6)=10 q_{4}(6)=9 q_{3}(6)=7 q_{2}(6)=4 q_{1}(6)=1$
فهرست 3

چون عدد 6 نمی‌تواند به بیشتر از شش جمع‌وند افراز شود، انتظار داریم که $q_{6}(6)$ همان $q(6)$ باشد. به همین ترتیب، به ‏معنای تعداد افرازهایn است که دارای n جمع‌وند یا کمتراز n جمع‌وند است و بنابراین

$q_{n}(n)=p(n)$

همچنین می‌توان افرازها را بر حسب اندازه جمع‌وندها رده‌بندی کرد. فهرست (1) نشان می‌دهد که تعداد افرازهای 6،

با 6 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 1 است؛با 5 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 1 است،‏با 4 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 2 است،‏با 3 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 3 است،‏با 2 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 3 است،‏با 1 به عنوان بزرگترین جمع‌وند، برابر 1 است،‏

به شباهت این فهرست با فهرست (2) توجه کنید. همان طوری که خواهیم دید این امر تصادفی نیست. به علاوه اگر $q_{k}(n)$ را تعداد افرازهایی ازn تعریف کنیم که هیچ یک از جمع‌وندهای آن ازk بزرگتر نباشد، نتیجه می‌گیریم که:

$p_{6}(6)=11 p_{5}(6)=10 p_{4}(6)=9 p_{3}(6)=7 p_{2}(6)=4 p_{1}(6)=1$

این فهرست مشابه فهرست (3) است. به طور کلی درست است که $q_{k}(n) = p_{k}(n)$

برقراری رابطه $q_{k}(n) = p_{k}(n)$

اکنون توجه خود را به بعضی از حالت‌های ‏خاص معطوف می‌داریم که ببینیم چرا این رابطه برقرار است. افرازهای 6 با سه جمع‌وند عبارت‌اند از:

2+2+2 , 3+2+1 , 4+1+1 افراز 1

افرازهای 6 که بزرگترین جمع‌وند آنها 3 است عبارت‌اند از:

3+1+1+1 , 3+2+1 , 3+3 افراز 2

برای اینکه تساوی تعداد افرازهای فهرست‌های (1) و (2) را ببینیم، از آنچه نمودار افرازها نامیده شده است استفاده ‏می‌کنیم. نمودار افراز 4+1+1 عبارت است از:

به همین ترتیب نمودارهای ‏3+2+1‏ و‏2+2+2‏ به صورت زیرند:

بنابراین نمودار یک افراز‏'n با'k جمع‌وند، صرفاً شامل k سطر از نقطه‌ها، هر سطر برای یک جمع‌وند ‏است؛ سطری که بزرگترین جمع‌وند را نشان می‌دهد در بالا ظاهر می‌شود، نمایش بزرگترین جمع‌وند بعدی در ‏زیر آن ظاهر‏ می‌شود وقس علی هذا. تعداد سطرها برابر تعداد ‏جمع‌وندها است، و تعداد نقطه‌ها در هر سطر برابر ‏با اندازه هر جمع‌وند است. تعداد کل نقطه‌ها در نمودار یک افراز، مساویn است. با عوض کردن سطرهای افقی و عمودی عکس نمودار به دست می‌آید. مثلاً:

عکس نمودار یک افراز n، مجدداً نمودار یک افرازn است. اگر نمودار اولیه افرازی با kجمع‌وند را نشان دهد (یعنی دارای k سطر ‏باشد)، آن‌گاه عکس نمودار در اولین (بزرگترین) سطر دارایk نقطه است و بنابراین افرازی با ماکسیمم جمع‌وند k را نشان می‌دهد، مثلاً، ‏افراز 12 به 4 جمع‌وند، یعنی، نمودار زیر را دارد.

و نمودار عکس آن، یعنی

پرونده:64.jpg

افراز 4+2+2+2+1+1 عدد 12 را نشان‏ می‌دهد که بزرگترین جمع‌وند آن 4 است. بنابراین می‌توان تناظر یک به یکی ‏را که بین نمودارها و نمودارهای عکس وجود دارد به عنوان یک تناظر یک به یک بین افرازهایی از‏ n با k جمع‌وند ‏و افرازهایی nازk با ‏بزرگترین جمع‌وند تعبیر کرد. در نتیجه تعداد‏ افرازهایn بهk جمع‌وند با تعداد افرازهایی از‏n ماکسیمم جمع‌وند آنها مساوی k است، برابر است.

به علاوه چون تعداد افرازهایی از به 1، یا 2، یا ‏3، ‏…، یاk جمع‌وند مساوی با تعداد افرازهایی ازn است که ماکسیمم جمع‌وندهای آن ‏برابر 1، یا 2، یا 3، …، یا k است، می‌توان گفت:

تعداد افرازهایی از n به k یا کمتر ازk جمع‌وند، برابر با تعداد افرازهایی از n است که بزرگترین جمع‌وند آنها از k بزرگتر نیست؛ به ‏صورت نمادی،

$q_{k}(n)= p_{k}(n)$