انتگرال دیریکله

لینک دوستان

ارشیو

فروشگاه سی شارپ

فروشگاه کدهای php

فروشگاه asp.net

انتگرال دیریکله

در ریاضیات انتگرال های متفاوتی وجود دارد که پس از ریاضیدان آلمانی پیتر پوستاو لجیون دیریکله با انتگرال دیریکله شناخته می شوند.

یکی از این انتگرال‌ها در زیر آمده است

$int_0^infty frac{sin omega}{omega},domega = frac{pi}{2}$

این رابطه با نمایش انتگرال فوریه قابل اثبات است. همچنین به سادگی با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال قابل ارزیابی است.

اثبات با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می کنیم، $alpha$ و $beta$ . رابطه

$f(alpha,beta)=int_0^infty e^{-alphaomega} frac{sin betaomega}{omega} domega$

را در نظر بگیرید. سپس باید $f(0,1)$ را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به $alpha$ داریم:

$frac{df}{dalpha}=frac{d}{dalpha}int_0^infty e^{-alphaomega} frac{sin betaomega}{omega} domega$

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

$frac{d}{dalpha}int_0^infty e^{-alphaomega} frac{sin betaomega}{omega} domega = int_0^infty frac{partial}{partialalpha}e^{-alphaomega}frac{sin betaomega}{omega} domega = -int_0^infty e^{-alphaomega} sin betaomega ,domega$

انتگرال با استفاده از فرمول اولر بسیار ساده تر ساخته می شود

$e^{ibetaomega}=cos betaomega + isin betaomega$

در نتیجه

$Im e^{ibetaomega}=sin betaomega$

که $Im$ نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می شود:

$-Imint_0^infty e^{-alphaomega}e^{ibetaomega}domega=Imfrac{1}{-alpha+ibeta}=Imfrac{-alpha-ibeta}{alpha^2+beta^2}=frac{-beta}{alpha^2+beta^2}$

بنابراین

$frac{df}{dalpha}=frac{-beta}{alpha^2+beta^2}$

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از $0$ تا $infty$ داریم

$int_0^inftyfrac{df}{dalpha}dalpha=int_0^inftyfrac{-beta}{alpha^2+beta^2}dalpha$

$f(infty,beta)-f(0,beta)=-lim_{alpharightarrow infty}arctan frac{alpha}{beta} + arctan 0$

$f(0,beta)=frac{pi}{2}textrm{sign}beta$

Note that $f(infty,beta)=lim_{alpharightarrow infty} int_0^infty e^{-alphaomega} frac{sin betaomega}{omega}{domega}=0$

لذا،

$f(0,1)=frac{pi}{2}$

در نتیجه:

$int_0^infty frac{sin omega}{omega},domega = frac{pi}{2}$

و به طور کلی تر

$int_0^infty frac{sin betaomega}{omega},domega = frac{pi}{2}textrm{sign} beta$

دانشنامه ریاضی
4027
papo
0

دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

ورود

لینک دوستان

ارشیو

انتگرال دیریکله

مطالب مرتبط

ارسال نظر

پروژه دانلود مقاله