دانشنامه ریاضی و کامپیوتر

سایت جامع در باب کتب و جزوات رشته های ریاضی و کامپیوتر با دانلود مستقیم.

لینک دوستان

ارشیو

فروشگاه سی شارپ

فروشگاه کدهای php

فروشگاه asp.net

قضیه رمزی

در علم ترکیبیات قضیهٔ رمزی بیان می‌کند که در رنگ آمیزی یال‌های هر گراف کامل (گراف ساده‌ای که در آن هر رأس به تمامی رئوس دیگر به وسیلهٔ یک یال متصل است) به اندازهٔ کافی بزرگی می‌توان زیر گراف‌های کامل تک رنگ یافت. در رنگ آمیزی با دو رنگ قضیهٔ رمزی بیان می‌کند که برای هر جفت از اعداد صحیح و مثبت $(r,s)$ کوچکترین عدد مثبت $R(r,s)$ وجود دارد به گونه‌ای که برای هر گراف کامل با $R(r,s)$ راس که یال‌های آن با دو رنگ قرمز و آبی رنگ آمیزی شده باشند، زیرگراف کاملی با $r$ راس وجود دارد که کاملا آبی شده باشد یا زیر گراف کاملی با $s$ راس وجود دارد که کاملا قرمز شده باشد. در این جا $R(r,s)$ به عدد صحیحی دلالت می‌کند که به $r$ و $s$ وابسته‌است

قضیهٔ رمزی یک دست آورد بنیادین در علم ترکیبیات است. F. P. Ramsey اولین نسخهٔ این دست آورد را به اثبات رساند. این مساله قضیهٔ ترکیبیاتی را بنیان نهاد که امروزه آن را قضیهٔ رمزی می‌نامند . در این کاربرد سوال این است که آیا زیرمجموعه‌های تک رنگی یافت می‌شوند که در این زیرمجموعه‌ها تمام یال‌های متصل به هم از یک رنگ باشند.

بسطی از این قضیه برای هر تعداد رنگ متناهی به جای دو رنگ به کار می‌رود. به طور دقیق تر این قضیه بیان می‌کند که برای هر تعداد رنگ داده شدهٔ c وهر مجموعه از اعداد صحیح داده شدهٔ $n_1,n_2,...,n_c$ عدد $R left ( n_1,n_2,...,n_c right )$ به گونه‌ای وجود دارد که اگر یال‌های گراف کاملی از مرتبه $R left ( n_1,n_2,...,n_c right )$ با c رنگ متفاوت، رنگ آمیزی شود آن گاه برای مقادیری از i بین ۱ تا c گراف مورد نظر باید شامل زیرگراف کاملی از مرتبه $n_i$ باشد که تمام یال‌های آن به رنگ i هستند. مورد خاصی که در بالا به آن اشاره شد برای c=۲ اتفاق می‌افتد.( $n_2=s$ , $n_1=r$ )

مثال:R(۳٬۳)=۶

یک $K_5$ رنگ آمیزی شده با 2 رنگ بدون وجود $K_3$ تک رنگ

تصور کنید که یال‌های یک گراف کامل با ۶ راس با دو رنگ آبی و قرمز رنگ آمیزی شده باشد. حال یک راس مثلا راس v را انتخاب کنید. ۵ یال به v متصل هستند و از این رو بنابر اصل لانه کبوتری حداقل ۳ تا از آن‌ها باید همرنگ باشند. بدون کاسته شدن از کلیت مساله می‌توان فرض کرد که حداقل ۳ یال که از راس v به راس‌های r,s,t متصل اند آبی هستند(در غیر این صورت جای رنگ‌های قرمز و آبی عوض می‌شود.) اگر هر یک از یال‌های (r, s), (r, t), (s, t) نیز آبی باشد آن گاه ما یک مثلث از یال‌های آبی داریم.در غیر این صورت یعنی اگر هیچ یک از یال‌های ذکر شده آبی نباشند هر سهٔ این یال‌ها قرمز خواهند بود و ما یک مثلث به رنگ قرمز خواهیم داشت.

از آن جایی که این استدلال را برای هر رنگ آمیزی می‌توان به کار برد، هر گراف کامل $K_6$ شامل یک $K_3$ تک رنگ است و ازاین رو R(۳٬۳) ≤ ۶. نسخهٔ عمومی این قضیه، قضیهٔ آشنایان وغریبه‌ها نامیده می‌شود.

یک اثبات جایگزین با استفاده از روش دوگونه شماری بدست می‌آید. این روش بدین صورت پیش می‌رود: تعداد سه تایی‌های مرتب از راس‌های x,y,z را که در آن یال (x,y) قرمز و (y,z) آبی هستند، بشمارید. اولا هر راس داده شده در میان ۰×۵=۰ یا ۱×۴=۴ یا ۲ × ۳ = ۶ تا از سه تایی‌های مرتب خواهد بود. بنابراین حداکثر ۶×۶=۳۶ تا از این سه تایی‌ها وجود دارد. دوما برای هر مثلث (x,y,z) غیر تک رنگ دقیقا ۲ تا از این سه تایی‌ها وجود دارد. بنابراین حداکثر ۱۸ تا مثلث غیر تک رنگ وجود دارد.بنابراین حداقل ۲ تا از ۲۰ مثلث موجود در $K_6$ تک رنگند.

برعکس، می‌توان یک $K_5$ را با دو رنگ، رنگ آمیزی کرد بدون این که هیچ $K_3$ تک رنگی ایجاد شود که نشان می‌دهد R(۳٬۳) > ۵.

اثبات قضیه

ابتدا قضیه را برای حالت رنگ آمیزی با دو رنگ با استفاده از استقرا روی r+s اثبات می‌کنیم. از روی تعریف واضح است که برای هر n ای R(n, ۱) = R(۱, n) = ۱. این پایهٔ استقراست. ما اثبات خواهیم کرد که $R left ( r,s right )$ وجود دارد و این کار را با یافتن یک محدودهٔ صریح برای آن انجام خواهیم داد.فرض استقرای ما این است که $R left ( r-1,s right )$ , $R left ( r,s-1 right )$ وجود دارد.

ادعا: $R(r,s)le R(r-1,s)+R(r,s-1)$ .یک گراف کامل با $R left ( r-1,s right ) + R left ( r,s-1 right )$ راس را در نظر بگیرید.راس v از گراف داده شده را انتخاب کنید و راس‌های باقی مانده را به دو مجموعهٔ M و N تفکیک کنید به گونه‌ای که هر راسی همانند w در مجموعهٔ M باشد اگر یال (v, w) آبی باشد و w در N باشد اگر که یال (v, w) قرمز باشد.

حال با استفاده از اصل لانه کبوتری داریم: $left | N right | ge R(r,s-1)$ یا $left | M right | ge R(r-1,s)$ اگر M دارای زیرگراف کامل $K_s$ به رنگ قرمز باشد آن گاه گراف اولیه نیز شامل این بخش می‌شود و مساله حل شده‌است. در غیر این صورت M دارای زیرگراف کامل $K_{r-1}$ است و بنابراین بنا بر تعریف M، M اجتماع {v} دارای زیرگراف کامل $K_r$ به رنگ آبی است. برای حالت دیگر نیز استدلال مشابه‌است.

پس ادعای ما درست است و ما اثبات را برای رنگ آمیزی با دو رنگ کامل کردیم. اکنون می‌خواهیم نتایج حالت کلی در رنگ آمیزی با c رنگ را به اثبات برسانیم. از استقرا استفاده می‌کنیم. ما نتایج مورد نظرمان را برای c=۱(بدیهی) و c=۲ (طبق مطالب گفته شده در بالا) داریم. حال c>۲ را در نظر می‌گیریم.

ادعا: $R(n_1,...,n_c)le R(n_1,...,n_{c-2},R(n_{c-1},n_c))$

توجه کنید که عبارت سمت راست تنها دارای عدد رمزی برای c-۱ رنگ و ۲ رنگ است و از این رو طبق فرض استقرا عددی متناهی مانند t وجود دارد. پس اثبات ادعایمان برای اثبات قضیه کافی است.

اثبات ادعا:

گرافی با t راس را در نظر بگیرید و یال‌های آن را با c رنگ، رنگ آمیزی کنید. حال خود را به کور رنگی بزنید و وانمود کنید که رنگ c-1 و رنگ c رنگ‌های یکسانی هستند. پس در این وضعیت گراف با c-1 رنگ، رنگ آمیزی شده‌است. بنابر فرض استقرا این گراف شامل $K_{ni}$ تک رنگ است که رنگ i در بازهٔ $1 le i le (c-2)$ قرار دارد یا شامل یک $K_{R left ( n_{c-1},n_c right )}$ رنگ شده با رنگ‌های تیره‌است.در حالت اول کار ما به پایان رسیده‌است. در حالت دوم دیدگاه خود را مورد بازبینی قرار می‌دهیم و می‌بینیم که بنا بر تعریف $R left ( n_{c-1},n_c right )$ ما باید یا یک گراف $K_{n_{c-1}}$ که به تمامی با تک رنگ (c-1) رنگ شده داشته باشیم یا یک گراف $K_{n_c}$ که با تک رنگ c رنگ شده باشد. در هر دو حالت اثبات کامل است.

اعداد رمزی

اعداد $R left ( r,s right )$ در قضیهٔ رمزی ( و بسط یافتهٔ آن‌ها در موارد با بیش از دو رنگ) تحت عنوان اعداد رمزی شناخته می‌شوند. یک حد بالا برای $Rleft ( r,s right )$ را، می‌توان از اثبات قضیه استخراج کرد و سایر استدلال‌ها نیز حد پایین برای آن ارائه می‌کنند.(نخستین حد پایین توسط Paul Erdős با استفاده از روش احتمالاتی به دست آمد.) هر چند شکاف بزرگی میان مقادیر حد پایین و حد بالا وجود دارد. من تبع آن تعداد بسیار اندکی از r وs‌ها هستند که ما برای آن‌ها مقدار دقیق R(r,s) را می‌دانیم.محاسبهٔ حد پایین L برای $R left ( r,s right )$ معمولاً نیازمند ارائهٔ یک رنگ آمیزی گراف $K_{L-1}$ با دو رنگ قرمز و آبی است به طوری که هیچ زیرگراف آبی $K_r$ و هیچ زیرگراف قرمز $K_s$ در آن یافت نشود. هر چند که بررسی حالت‌های مختلف رنگ آمیزی گراف $K_n$ با افزایش مقدار n از نظر محاسباتی بسیار پیچیده خواهد شد. تعداد حالت‌های رنگ آمیزی رشدی بالاتر از رشد نمایی(exponentially) دارد.

در حال حاضر حتی مقدار دقیق $R left( 5,5 right )$ شناخته شده‌است هر چند که از قبل می‌دانستیم که مقدار آن بین 43(توسط Geoffrey Exoo) و 49 (Brendan McKay، وStanisław Radziszowski) قرار دارد. احتمال داده می‌شود که مقدار دقیق $R left ( 6,6 right )$ برای همیشه مجهول بماند. Paul Erdős می‌گوید:

" بیگانگانی( نیروهای خارجی) را تصور کنید که بسیار نیرومندتر از ما بر روی زمین هستند و از ما خواسته‌اند که مقدار $R left ( 5,5 right )$ را محاسبه کنیم و در غیر این صورت سیارهٔ ما را نابود خواهند کرد. در این حالت ما باید تمام کامپیوترها و ریاضی دان هایمان را به کار بگیریم و برای یافتن مقدار مورد نظر به شدت تلاش کنیم. حال به جای این تصور کنید که از ما خواسته شده تا مقدار $R left ( 6,6 right )$ را محاسبه نماییم، در این وضعیت ما باید تمام تلاشمان را برای نابود کردن بیگانگان به کار ببریم!"

مقدار $R left ( r,s right )$ برای مقادیر r و s تا 10 در جدول زیر نشان داده شده‌است. از آن جایی که در بسیاری از موارد مقدار دقیق را نمی‌دانیم، بهترین حدود یافت شده در جدول به نماش گذاشته شده‌است. $R left ( r,s right )$ برای مقادیر r و s کوچک تر از 3 به صورت R(1,s) = 1و R(2,s) = s برای تمام مقادیرs داده شده‌است.

r,s	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	40–43
4	1	4	9	18	25	35–41	49–61	56–84	73–115	92–149
5	1	5	14	25	43–49	58–87	80–143	101–216	125–316	143–442
6	1	6	18	35–41	58–87	102–165	113–298	127–495	169–780	179–1171
7	1	7	23	49–61	80–143	113–298	205–540	216–1031	233–1713	289–2826
8	1	8	28	56–84	101–216	127–495	216–1031	282–1870	317–3583	≤ 6090
9	1	9	36	73–115	125–316	169–780	233–1713	317–3583	565–6588	580–12677
10	1	10	40–43	92–149	143–442	179–1171	289–2826	≤ 6090	580–12677	798–23556

در جدول یک تقارن ناچیز در میان قطر نیز وجود دارد. جدول فوق از جدول بزرگ تری که توسط Stanisław Radziszowski تالیف شده، اقتباس شده‌است.

یک مثال از چندین رنگ : R(3,3,3) = 17

گراف Clebsch

یک عدد رمزی رنگارنگ یک عدد رمزی است که در آن برای رنگ آمیزی از 3 رنگ یا بیشتر استفاده می‌شود. فقط یک عدد رمزی رنگارنگ وجود دارد که مقدار دقیق آن شناخته شده‌است و آن R(3,3,3) = 17 است.

یالی از یک گراف کامل را درنظر بگیرید که با 3 رنگ قرمز، آبی و زرد رنگ آمیزی شده‌است. علاوه بر این فرض کنید که یال مورد نظر هیچ مثلث هم رنگی را تشکیل نمی‌دهد. یک راس دلخواه v را انتخاب کنید. مجموعهٔ رئوسی که یک یال سبز به v داده‌اند را در نظر بگیرید. این مجموعه همسایگی سبز راس v نامیده می‌شود. همسایگی سبز v نمی‌تواند شامل هیچ یال سبزی باشد، زیرا در غیر این صورت مثلث سبزی وجود خواهد داشت که متشکل از دو نقطهٔ انتهایی آن یال سبز و راس v خواهد بود. پس یال‌های رنگ آمیزی شده در همسایگی سبز v تنها با دو رنگ قرمز و زرد رنگ آمیزی شده‌اند. از آن جایی که R(3,3) = 6 است همسایگی سبز v می‌تواند حداکثر شامل 5 راس باشد. به طور مشابه همسایگی‌های قرمز و زرد v نیز هر کدام حداکثر می‌توانند 5 راس داشته باشند. از آن جایی که هر راس به جز خود v در یکی از همسایگی‌های سبز، قرمز یا زرد v قرار گرفته، گراف کامل حداکثر می‌تواند 1 + 5 + 5 + 5 = 16 راس داشته باشد. در نتیجه داریم : R(3,3,3) ≤ 17

برای این که ببینیم R(3,3,3) ≤ 17 کافی است یال‌های یک گراف کامل با 16 راس را با سه رنگ متفاوت رنگ آمیزی کنیم و در عین حال از ایجاد مثلث‌های تک رنگ بپرهیزیم . به این نتیجه خواهیم رسید که دقیقا دو روش برای رنگ آمیزی K16 با این شرایط وجود دارد که آن‌ها را رنگ آمیزی تابیده(معوج) و ناتابیده می‌نامیم. هر دو روش رنگ آمیزی در شکل سمت چپ در بالا نشان داده شده‌است.شکل بالایی رنگ آمیزی ناتابیده و شکل پایینی رنگ آمیزی تابیده را نشان می‌دهد.

پس R(3,3,3)=17.

اگر شما هر رنگی از رنگ‌های تابیده یا ناتابیدهٔ گراف $K_{16}$ را انتخاب کنید و گرافی را در نظر بگیرید که یال‌هایش دقیقا یال‌هایی با همان رنگ ویژه باشد آن گاه به گراف Clebsch دست خواهیم یافت .

دقیقا دو روش برای رنگ آمیزی یال‌های گراف $K_{15}$ با سه رنگ وجود دارد به گونه‌ای که از ایجاد مثلث‌های تک رنگ پرهیز کنیم . این گراف را می‌توان با حذف کردن هر راس دلخواه از گراف تابیده یا ناتابیدهٔ K16 که به طور مطلوب رنگ آمیزی شده، به دست آورد.