اعداد مرسن

لینک دوستان

ارشیو

فروشگاه سی شارپ

فروشگاه کدهای php

فروشگاه asp.net

اعداد مرسن

اعداد اول مرسن اعداد اولی به فرم $M_n=2^n-1$ هستند که به افتخار نام کشیش فرانسوی مارین مرسن (به انگلیسی: Marin Mersenne)، به این نام خوانده می‌شوند. چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: ۳, ۷, ۳۱, ۱۲۷, ۸۱۹۱, ۱۳۱۰۷۱, ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ و ... که متناظر هستند با ... ,۸۹ ,۶۱ ,۳۱ ,۱۹ ,۱۷ ,۱۳ ,۷ ,۵ ,۳ ,۲ =n

اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه

قضیه اول: اگر $M_n$ اول باشد، $n$ نیز باید خود اول باشد.

اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است (برهان خلف). یعنی به ازای $n$ مرکبی، $2^n-1$ اول است؛ در این صورت می‌توان $n$ را به صورت ضرب دو عدد غیر یک $n = rs$ نوشت. پس:

$2^n-1=2^{rs}-1=(2^r)^s-1=(2^r-1)(cdots)$ پس اگر $s$ زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. پس $n$ باید اول باشد.

اعداد مرسن واعداد کامل(تام)

بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت $((100cdots0)-1)_2$ می‌باشد که برابر $(11cdots1)_2$ است ( $p$ تا یک).

تعریف: عدد کامل (تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود، به جز خودش، برابر باشد. از معروفترین آنها ۶=۳+۲+۱ و ۲۸=۱۴+۷+۴+۲+۱ هستند.

قضیه دوم: هر عدد کامل به صورت $(2^p-1)(2^{p-1})$ است که $2^p-1$ اول است.

این‌ها اعداد به شکل $2^p-1$ مرسن هستند و متعاقباً توان‌های آن‌ها ( $p$ )اول است. پس با یافتن هر عدد کامل، می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود. این آزمایش فوراً نشان می‌دهد که $M_p$ به ازای $p=11,23,83,131,179,191,239,251$ مرکب است (به ترتیب با عوامل اول ۲۳، ۴۷، ۱۶۷، ۲۶۳، ۳۵۹، ۳۸۳، ۴۷۹ و ۵۰۳).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی $M_p$ آزمایش لوکاس- لمر است.

ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم:

اگر $nequiv3$ به پیمانه ۴ و $n$ عدد اول باشد، در این صورت $2n+1 | Mn$ ، اگر $2n+1$ اول باشد.
همچنین این درست است که عوامل اول $2^p-1$ باید شکل $2kp+1$ داشته باشند که $k$ یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل $8n+1$ یا $8n-1$ را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹).
یک عامل اول $p$ از یک عدد مرسن $M_p=2^p-1$ (چه اول و چه مرکب) در صورتی عدد ویفریچ اول است که $p^2|2^p-1$ . بنابراین یک عدد مرسن نمی‌تواند عدد ویفریچ اول باشد.

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟ اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل بر هشت عدد اول بخش پذیر است و حداقل ۳۷ عامل اول دارد (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از ۱۰۲۰ دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نامحدودی عدد کامل زوج است. جواب این است که احتمالاً بله است (زیرا سری هارمونیک واگراست).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

نظریه اولر: اگر $k>1$ باشد و $p = 4k+3$ اول باشد، در این صورت $p^2|2^p-1$ نیز اول است، اگر و تنها اگر باقی مانده تقسیم $2p$ بر $p^2|2^p-1$ برابر $1$ باشد.

همچنین اگر $p = 4k+3$ باشد و $p^2|2^p-1$ اول باشد، در این صورت عدد مرسن $p^2|2^p-1$ مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازای $p$ به صورت $2p+1$ باشد، بی نهایت است^{[نیازمند منبع]}).

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

بیتمن، سلفریج و واگستاف حدس زیر را زده‌اند: فرض کنیم $p$ هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول -که در زیر آمده است- برقرار باشد، گزاره سوم برقرار خواهد بود:

$p=2^k+/-1$ , $p=4^k+/-3$
$p=2^k-1$ عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است.).
$frac{2^p+1}{3}$ عددی اول است.

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته‌است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال‌های جواب داده نشده‌است. به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول $p$ بر یک عدد مرسن تقسیم شود، در این صورت $p$ یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده‌اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع‌ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.

اعداد مرسن بهمراه سال

اگر دنباله‌ای به این صورت باشد که $A_p=2^{A_p}-1$ و $A_0=2$ آیا همه این دنباله اول هستند؟ دیکسون کاتالان، در پاسخ این سؤال در سال 1876، به لوکاس اظهار داشت که 1-127^2( $A_4$ )، به این ترتیب اول است. همان طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع بزرگ می‌شوند:

C0 = 2 (اول)

C1 = 3 (اول)

C2 = 7 (اول)

C3 = 127 (اول)

C4 = 170141183460469231731687303715884105727 (اول)...C5 > 1051217599719369681879879723386331576246 (سوال:آیا این عدد اول است؟)

به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر یک عدد زوج و مرکب در این دنباله پیدا شود، طبق نظریه اول، تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.

تاریخچه

درسال 1963 کشف شد که 1-11213^2 اول است، و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا، ایلینیوس اعلام شد. یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ولتمن به پا شده است که به GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن، از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت‌های مختلفی از تحقیقات استفاده می‌کنند. در 17 نوامبر 2003، یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن، کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد. تلاش‌های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت، تا فوریه همین سال، شرکت کنندگان GIMPS، تمام توان‌های قبل از 9,889,900 را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان‌های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کردند.